miércoles, 17 de marzo de 2010

6to Año - Números Reales - Simbología y propiedades

Propiedades de adición en el conjunto de los números reales

$A_1$ Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R, \,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R$ entonces $a+b=b+a \hspace{0.5cm}$ (la adicción es conmutativa)
$\hspace{0.5cm}$Por ejemplo: $5+3=3+5$

$A_2$ Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R, \,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R, \,\, c\, \varepsilon \,I\! \! R$ entonces $a+(b+c)=(a+b)+c \hspace{0.5cm}$ (la adición es asociativa)

Por ejemplo: $7+(6+2)=(7+6)+2$

$A_3$ Existe $0,\, 0\, \varepsilon \, I\! \! R$ tal que para cada $a ,a\, \, \varepsilon \,I\! \! R,\,\, a+0=a \hspace{0.5cm}$ ($0$ es el elemento neutro aditivo)

$\hspace{0.5cm}$Por ejemplo: $ \displaystyle{ {\frac{-3}{5}}+0={\frac{-3}{5}}} $

$A_4$ Para cada $a,\, a\, \varepsilon \, I\! \! R$ existe $-a ,-a\, \, \varepsilon \,I\! \! R$ tal que $a+(-a)=0 \hspace{0.5cm}$ (cada número real posee inverso aditivo)

$\hspace{0.5cm}$Por ejemplo: el inverso aditivo de $-8$ es $8$ pues $-8+8=0$


Propiedades de la multiplicación en el conjunto de los números reales

$M_1$ Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R, \,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R$ entonces $a\cdot b=b\cdot a \hspace{0.5cm}$ (la multiplicación es conmutativa)

$\hspace{0.5cm}$ Ejemplo: $3\cdot 2=2\cdot 3$

$M_2$ Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R, \,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R, \,\, c\, \varepsilon \,I\! \! R$ entonces $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c \hspace{0.5cm}$(la multiplicación es asociativa)

$\hspace{0.5cm}$Ejemplo: $-5\cdot (2\cdot 1)=(-5\cdot 2)\cdot 1$

$M_3$ Existe $1;\, 1\, \varepsilon \, I\! \! R$ tal que para cada $a ,a\, \, \varepsilon \,I\! \! R,\,\, a\cdot 1=a \hspace{0.5cm}$ ($1$ es el elemento neutro multiplicativo)

$\hspace{0.5cm}$Ejemplo: $4\cdot 1=4$

$M_4$ Para cada $a,\, a\, \varepsilon \, I\! \! R, \, a\neq 0$, existe $ \displaystyle{ {\frac{1}{a}},\,\,{\frac{1}{a}}\, \, \varepsilon \,I\! \! R} $ tal que $ \displaystyle{ a\cdot {\frac{1}{a}}=1} \hspace{0.5cm}$ (cada número real diferente de 0 posee inverso multiplicativo)

$\hspace{0.5cm}$Ejemplo: $15\cdot \displaystyle{ {\frac{1}{15}}} =1$

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición


Si $a\, \varepsilon \, I\! \! R, \,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R, \,\, c\, \varepsilon \,I\! \! R$ entonces se cumple que:
\begin{displaymath}a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\end{displaymath}


Ejemplo: $-11\cdot(3+9)=(-11)\cdot 3+(-11)\cdot9$



La sustracción definida en el conjunto de los números reales
Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R, \,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R$.

Llamaremos sustracción de $a$ y $b$, la denotaremos $a-b$ a la operación definida por:
\begin{displaymath}a-b = a+(-b)\end{displaymath}


Ejemplo:

a.$\hspace{0.5cm}5-3=5+(-3)$
b.$\hspace{0.5cm} \displaystyle{ {\frac{5}{4}}-{\frac{1}{7}}={\frac{5}{4}}+{\frac{-1}{7}}} $

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